The Great Central Sun of the Universe : Kwanty w atomie wodoru

piątek, 23 stycznia 2026

Kwanty w atomie wodoru

Myślę, że mogę śmiało powiedzieć, że nikt nie rozumie mechaniki kwantowej.

Richard Feynman

Kiedy Kirchoff i Bunsen stworzyli analizę widmową, zaczęto badać widma różnych pierwiastków, w tym oczywiście, najlżejszego ze wszystkich, wodoru.

W roku 1885 nauczyciel ze szkoły dla dziewcząt w Bazylei, Johan Balmer, rozszyfrował matematyczną prawidłowość, ukrytą w widmie tego pierwiastka - długości fali odpowiadającej kolejnym liniom widmowym, spełniającą prosty wzór:

wyrażający długości fal świetlnych odpowiadającym kolejnym liniom widmowym wodoru.

gdzie:

λ - długość fali danej linii widmowej,

A - granica serii Balmera - max częstotliwość pochłaniana/emitowana przez atom wodoru w tej serii (A=364,57 nm),

n = szereg kolejnych liczb całkowitych 3, 4, 5, 6....

Widzialne linie spektralne serii Balmera. Pierwsze 4 linie serii od prawej znajdują się w zakresie światła widzialnego, reszta od lewej - w nadfiolecie.

H_α - czerwona linia z prawej strony o długości fali 656,3 nm. Linia po lewej stronie — H_ε, odpowiada promieniowaniu w nadfiolecie o długości fali 397,0 nm.

Serie widmowe w atomie wodoru to, wg orbitalu docelowego:

seria Lymana, przejście na orbital n=1 (inaczej seria K)

seria Balmera, przejście na orbital n=2 (inaczej seria L)

seria Paschena, przejście na orbital n=3 (inaczej seria M)

seria Bracketta, przejście na orbital n=4 (inaczej seria N)

seria Pfunda, przejście na orbital n=5 (inaczej seria O)

seria Humphreysa, przejście na orbital n=6 (inaczej seria P)

Wszystkie poziomy w atomie wodoru opisuje wzór Rydberga.

Wzory Balmera były, jak niektórzy przeciwnicy kwantów żartobliwie sadzą, skutkiem zabawy w liczby ich autora i nie miały dla niego ani dla innych żadnego znaczenia fizycznego. Ale byli też tacy, co docenili geniusz, Balmera, dzięki któremu możemy znaleźć położenie każdej z linii widmowych atomu wodoru.
Dało to informację, że światło rozchodzi się w porcjach. Przełomem stało się odkrycie przez Bohra odpowiedniości między wzorami widmowymi Balmera a budową atomu proponowaną przez niego. Kiedy Hansen zwrócił uwagę Bohra na te wzory, ten doznał olśnienia. Uświadomił sobie związek promieniowania atomu z jego budową i tym samym zyskał doświadczalne potwierdzenie dla swojego przyszłego modelu atomu wodoru. Można by rzec, że fizyka kwantowa chwilami odkładała na bok postulat zrozumiałości Natury, ale jednocześnie potwierdziła mocno przekonanie o jej matematyczności.

Bohr, budując swój model atomu wodoru, przyjął dwa postulaty, bez których model ten nie byłby zgodny z doświadczeniem.

L = nh/2π = nh

E_f = hν =E₂ – E₁

Z postulatów tych wynika, że promienie orbit elektronu oraz energie elektronu na poszczególnych orbitach są również skwantowane. Promienie te, w szczególności promień atomu wodoru w stanie podstawowym, tzw. promień atomu Bohra, oraz energie można obliczyć z klasycznego przyrównania siły elektrostatycznej do siły dośrodkowej.

Model atomu Bohra. Spin elektronu. Zakaz Pauliego.
Elektron może krążyć tylko po określonych orbitach zwanych stabilnymi (stacjonarnymi). W tym modelu promieniowanie jest emitowane tylko wówczas, gdy elektron zmienia orbitę.

Zauważono, że linie widmowe składają się dodatkowo z dwóch bardzo blisko leżących, znacznie bliżej niż dla dwóch sąsiednich orbit, linii widmowych.

Dopiero dwaj duńscy fizycy Uhlenbeck i Goudsmit wyjaśnili to zjawisko. Stwierdzili oni, że elektron nie tylko krąży dookoła jądra ale również obraca się wokół własnej osi. Elektron może wirować w jedna lub drugą stronę. Wytwarza on prąd kołowy płynący zgodnie z kierunkiem obrotu. Prąd ten wytwarza pole magnetyczne zgodne lub przeciwne do pola wytworzonego przez elektron poruszający się po orbicie. Pole to dodaje lub odejmuje się od niego. Elektron wytwarzający pole przeciwne ma nieco mniejszą energię niż ten wytwarzający pole zgodne. Następuje wiec rozczepienie linii widma. Do oznaczania kierunku wirowania elektronu stosuje się spinowa magnetyczna liczbę kwantową – spin może wynosić + ½ lub - ½ . Powoduje to obserwowane rozczepienie linii widmowych na dwie bardzo bliskie sobie linie.

Po uzupełnieniu teorii Bohra opisywała on w sposób bardzo dobry obserwowane widma atomu wodoru. Linie główne powstają dzięki zajmowania przez elektron różnych orbit (określonych liczbą n). Linie te składają się z kilku linii leżących blisko siebie odpowiadających różnym kształtom orbit (określoną liczbą l).
W polu magnetycznym linie ulęgają rozczepieniu co wynika z zajmowaniem przez orbity określonych orientacji płaszczyzn w przestrzeni. Dodatkowo, elektron krążący po orbicie, może obracać się wokół swej osi w dwie strony. Powoduje to rozbicie linii widmowych na dwie sąsiadujące linie.

W 1925 roku Wolfang Pauli (1900-1958) ogłosił regułę zwaną zakazem Pauliego, zgodnie z którą w atomie nie może być dwóch elektronów w tym samym stanie. To znaczy, że w atomie nie może być dwóch elektronów o takich samych czterech liczbach kwantowych ( n, l, m_l, m_S ).

Uzupełniona teoria Bohra tłumaczyła widmo wodoru i innych atomów wodoropodobnych (np. He⁺). Opisywała budowę atomów, orbity elektronów. Odnosiła wiec liczne sukcesy. Jednakże jej założenia wydawały się wielu fizykom sztuczne Zadawano sobie często pytanie dlaczego elektrony mogą krążyć wokół jądra tylko po pewnych dozwolonych orbitach.

Spin elektronu

Badania widm atomowych dostarczyły cennych informacji o strukturze atomu i w historii rozwoju fizyki atomowej odegrały niezwykle ważną rolę. Stanowiły eksperymentalne potwierdzenie słuszności modelu Bohra w odniesieniu do wodoru. Na tym jednak nie zakończyła się rola analizy struktury widm optycznych. Bardziej precyzyjne obserwacje pokazały, ze linie początkowo uważane za pojedyncze składają się w rzeczywistości z kilku linii. Nazwano to strukturą subtelną widm.

Zagadkowe okazały się wyniki doświadczenia Sterna i Gerlacha. W 1922roku Stern i Gerlach wykonywali pomiary, których zamiarem był pomiar magnetycznego momentu dipolowego atomów srebra.

W tym celu przepuszczali wiązkę neutralnych elektrycznie atomów srebra przez obszar silnego niejednorodnego pola magnetycznego prostopadłego do kierunku wiązki. Ilustruje to powyższy rysunek, gdzie symbolem Ag oznaczone jest źródło emisji atomów srebra a ∇B⃗ oznacza kierunek zmiany pola magnetycznego. Symbolizuje to również nasilający się ku górze kolor niebieski w obszarze pola. Wiązka była neutralna więc rozumieli oni, że odchylenie może nastąpić jedynie wskutek istnienia orbitalnego momentu magnetycznego.

Stern i Gerlach zaobserwowali rozszczepienie wiązki na dwa prążki, jeden odchylony w gorę, drugi w dół. Środek odpowiadający brakowi odchylenia pozostawał pusty. Z ich oszacowań wynikało, że odchylenie powinno być proporcjonalne do składowej µ_z momentu magnetycznego, która z kolei proporcjonalna jest do składowej L_z orbitalnego momentu pędu. Liczba prążków powinna odpowiadać liczbie ustawień względem osi Z wektora momentu orbitalnego. Zawsze jednak powinien być prążek wiązki nieodchylonej, odpowiadający wartości m_lrównej zeru. Tymczasem takiego prążka nie było. Wykonano wiele wariantów doświadczenia, ale jego wynik pozostawał zawsze niezrozumiały przy próbie interpretacji za pomocą tylko orbitalnego momentu magnetycznego.

Doświadczenie pokazało że cząstka ma moment magnetyczny, ma spin i jest on skwantowany.
Niejednorodne pole magnetyczne ma tę własność, że odchyla wiązkę cząstek z momentem magnetycznym µ_z w kierunkach swojego działania (u nas: osi z).
Gdyby spin nie istniał, wiązka nie byłaby odchylona.
Gdyby spin nie był skwantowany, wiązka odchylana byłaby pod dowolnymi kątami.
Otrzymano jednak zaskakujący obraz. Wiązka została odchylona tylko pod dwoma kątami (w przeciwne strony), co odpowiada 2 możliwym rzutom spinu 1/2 na oś z.
Istnienie spinu i jego skwantowanie stały się faktami eksperymentalnymi.

Pierwsze przesłanki dla teoretyków, świadczące że elektrony w atomach czymś się różnią, pojawiły się w 1924 roku w związku z zakazem Pauliego).

Pauli stwierdził, że 2 elektrony nie mogą pojawić się w identycznym stanie kwantowym, podczas gdy wiadomo już było, że w orbitalu atomowym mogą one występować parami.
Pauli nazwał to coś "dwuwartościowym stopniem swobody".

W 1925 roku Ralph Kronig zasugerował, że ów stopień swobody związany jest z rotacją elektronu wokół własnej osi.

W tym samym 1925 roku, również Goudsmit i Uhlenbeck wystąpili z sugestia istnienia jeszcze jednej liczby kwantowej przypisanej elektronowi. Liczba ta wiązałaby się z momentem pędu elektronu wynikającym z jego obrotu wokół własnej osi. Taki własny moment pędu nazwano spinem. Tym samym uznano, że elektron jest dipolem magnetycznym o momencie magnetycznym µ_z = µ_e = - 9284,76 x 10⁻²⁷ [J/T]

Możemy sobie wyobrazić spin jako wirowanie całej cząstki (może kuli?) wokół osi przechodzącej przez jej środek.

Linie pola magnetycznego wokół elektronu jako dipola magnetycznego.

Dzisiejsi fizycy uważają, że traktowanie spinu, wynikającego z momentu obrotowego, jest nieuzasadnione.

Dlaczego ujemne elektrony nie spadają na dodatnie jądra atomowe?

Wynikający z doświadczenia Rutherforda model atomu, zbudowanego z ujemnych elektronów rozmieszczonych wokół dodatnich jąder atomowych, jest niezrozumiały dla większości fizyków. Mówią że, poruszający się po okręgu elektron, wg prawa Coulomba , powinien "spaść" na jądro a wg elektrodynamiki klasycznej na dodatek, już po czasie rzędu 10–6 sekundy, wypromieniowywać dodatkowo energię.
Nie biorą jednak pod uwagę, że, w powstałym kiedyś atomie wodoru, elektron został wyrzucony z przekształcającego się neutronu z określoną prędkością wg poniższej zależności:

i krąży wokół jądra, mając przy tym określone przyspieszenie odśrodkowe, równoważące całkowicie przyciaganie culombowskie.

Ponadto, w świecie atomów i cząstek subatomowych, obowiązują prawa fizyki kwantowej. Nazwa pochodzi od słowa kwant, oznaczającego określoną porcję. Według fizyki kwantowej energia jest przekazywana w kwantach o wielkości określonej dla danego układu, a nie w porcjach dowolnych.
Dlatego atomy są trwałe.

Obliczyliśmy, że na pierwszej orbicie o promieniu

r₁ = 5,295*10^(-11) [m]

jest moment pędu

L₁ = Mp₁ = m*v₁*r₁ = 1*h

Widać wyraźnie, jak na dłoni, że elektron nie może spaść, bo ten moment pędu

L₁ = Mp₁ = m*v₁*r₁ = 1*h

i nie może być mniejszy od 1*h, bo to jest najmniejsza porcja w Naturze.

Wzrost moment pędu jest natomiast na zewnątrz.

Powyżej 1*h można więc podskoczyć ale poniżej 1*h nie zejdziesz.
I tego większość fizyków nie może zrozumieć.

Atom jest to układ doskonały stworzony przez Naturę. Znaczy się nie promieniuje, bo nie porusza się z przyspieszeniem, ale jednostajnie na wzór planet okrążających Słońce i bez oporu. One też krążą i choć są przyciągane inaczej, bo grawitacyjnie, to też nie spadają, bo nie mają też oporu. Mi tu wszystko pasuje i nic nie dziwi.

Wyobrażenie o „barierze" odgradzającej elektrony od jądra atomowego daje też, gdy spojrzymy na atom wodoru jeszcze z innego kierunku. Atomu wodoru jako najprostszy, zbudowany jest z jednego protonu i jednego elektronu.

Jest on bardzo trwały i nie ma żadnej skłonności do przekształcania się w neutron, co byłoby skutkiem połączenia elektronu z protonem:

Przy rozpadzie neutronu wydziela się energia, przekazywana m. inn: elektronowi, więc proces odwrotny, synteza neutronu z protonu i elektronu, wymagałby m. inn: wstrzyknięcia z powrotem tej energii układowi, by on mógł wrócić do pierwotnej postaci. A to nie jest takie proste. Dlatego atom wodoru nie przekształca się nigdy w neutron. Widzimy, zatem, że nadmierne zbliżenie elektronu do protonu jest niemożliwe również ze względów energetycznych.

Mi, osobiście, model planetarno-kwantowy atomu wodoru, bardzo odpowiada i nie widzę żadnych powodów by go odrzucać. Wygląda na to, że spin elektronu nie odgrywa roli w wielkości promienia orbity i prędkości elektronu.

Natomiast, jeśli chodzi o atomy wieloelektronowe, to jestem przekonany, że przewijają się tam kwestie nieobecne w atomie wodoru. Rządzą tam dodatkowe prawa m. inn. ewentualnie odpychaniem powłok elektronowych, sprawa jest bardzo złożona i wodór podług nich jest stosunkowo prosty.

Uważam, że elektrony, już bardziej zespołowo, w sprzężeniu, może całymi powłokami krążą wokół jądra. No, bo jakże by inaczej. Też nie radialnie, jak niektórzy spekulują, a już na pewno nie stoją w miejscu.

Wszystko bowiem, jak mawiał Heraklit z Efezu, płynie, nie stoi w miejscu, jest w ciągłym ruchu - panta rhei kai ouden mene.

Odrzucenie modelu Bohra.

Orzeknięto, że postulaty Bohra choć miały w istocie charakter kwantowy ale były wprowadzone ad hoc.

Dalej mówi się, że model atomu wodoru Bohra jest błędny i nieoparty na żadnych konkretnych przesłankach fizycznych.
Inna, rzekoma trudność modelu Bohra, to to, że atom, wg Bohra, jest ... PŁASKI.

Zrezygnowano, więc z niego, orzekając poprawności modelu, jako pozorną, ponieważ, rzekomo, zgodnie z elektrodynamiką klasyczną poruszający się po okręgu elektron powinien, w sposób ciągły, wypromieniowywać energię i w efekcie "spaść" na jądro już po czasie rzędu 10^–6 sekundy. A że tak się nie dzieje, nie potrafili wytłumaczyć. Odrzucili więc go i na gruncie dualizmu korpuskularno-falowego wymyślili „nową” teorię i zbudować model na niej oparty.

W bardzo uznanym Berkeleyowskim Kursie Fizyki, Tom IV, E.H. Wichman, „Fizyka kwantowa” na str.54 czytamy: Planetarnego modelu atomu nie należy traktować poważnie; w rzeczywistości jest on zupełnie zły. To, że tak dobrze „działa” w szczególnym przypadku atomu wodoru jest szczęśliwym (i zarazem nieszczęśliwym) zbiegiem okoliczności. Nieszczęśliwym, gdyż sugeruje ludziom, że atom jest czymś podobnym do układu słonecznego.

Dzisiaj mówi się jednoznacznie, że z punktu widzenia współczesnej mechaniki kwantowej model atomu Bohra i jego teoria są błędne nieoparte na żadnych konkretnych przesłankach fizycznych. Wg mnie, jest to dziwne tłumaczenie, że elektron powinien "spaść" na jądro już po czasie rzędu 10–6 sekundy. Ci, co tak twierdzą, dają do zrozumienia, że jeszcze wiele nie rozumieją.

Ponieważ nigdzie nie spotkałem wyprowadzenia postulatu Bohra a tylko jego ostateczną postać i jak się oficjalnie mówi, przyjęty ad hoc, postanowiłem wyprowadzić sobie końcową zależność by się samemu przekonać o jego słuszności bądź nie.

I mnie nie ten model Bohra, ze swymi postulatami przekonał, gdy korzystając z 2 postulatu,

E_f = hν =E₂ –E₁

wyprowadziłem sobie 1-szy postulat Bohra.

L = nh/2π = nh

Pełne wyprowadzenie 1-szego postulatu Bohra dla atomu wodoru

Ponieważ nigdzie nie spotkałem wyprowadzenia postulatów Bohra a tylko ich ostateczną postać i jak się oficjalnie mówi, przyjęte ad hoc, postanowiłem wyprowadzić sobie ich końcowe zależności by się samemu przekonać o ich słuszności bądź nie.

Korzystając z 2 postulatu,

E_f = hν =E₂ –E₁

wyprowadziłem sobie 1-szy postulat Bohra.

L = nh/2π = nh

Siła odśrodkowa:

F = m *v^2/r

i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:

m*v^2/r = e^2/4π*ε₀*r^2

Powyższą równość przekształcamy do postaci na E_kin

Energia kinetyczna układu elektron - proton będzie:

E_k = m*v^2/2 = e^2/8π*ε₀ *r

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem:

E_p = - e^2/4π*ε₀ *r

Całkowita energia układu będzie E = E_k + E_p

E = E_k + E_p = e^2/8π*ε₀ *r + [- e^2/4π*ε₀ *r] = - e^2/8π*ε₀*r

E = - e^2/8π*ε₀*r = R_jon = -13, 6 [eV] =

E₁ = -13,6 eV = = -21,8*10^(-19) [ J] = -2,18*10^(-18) [ J]

i z tego wyznaczamy promień orbity elektronu:

r₁= e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8π*ε₀ *2,18*10^(-18)

r₁ = [1,602*10^(-19)]^2 /25,12*8,85*10^(-12) * 2,18*10^(-18)

r₁ = 2,566 * 10^(-38) / 484,64 * 10^(-30)

r₁ = 5,295*10^(-11) [m]

e = 1,602*10^(-19) [C]

ε₀ = 8,85*10^(-12) [F/m]

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

1 eV = 1,602*10^(-19) [J]

Pozostałe promienie orbit elektronu r_n odpowiadające tym E_n poziomom energetycznym

r₁ = e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8π*ε₀ *2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε₀ * E₂ = e^2/8π*ε₀ *0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε₀ * E₃ = e^2/8π*ε₀ *0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε₀ * E₄ = e^2/8π*ε₀ *0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Ze wzoru na równość sił, odśrodkowej i przyciągania elektrostatycznego:

m_e *v^2/r = e^2/4πε₀*r^2

możemy wyznaczyć teraz prędkość obwodową elektronu:
v = [e^2/4π*ε₀ *m*r]^0,5 = e / [4πε₀*m*r]^0,5 =

v₁ = e/[4π*ε₀*m*r₁]^ 0,5 =

v₁ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 5,295*10^(-11)]^0,5

v₁ = 1,602*10^(-19) / [5361,88 * 10^(-54)]^0,5 = 1,602*10^(-19) / 73,22 * 10^(-27)

v₁ = 160,2 10^(-21) / 73,22 * 10^(-27) = 2,18 * 10^6

v₁ = 2,18*10^6 [m/s]

Poziomy energetyczne w atomie wodoru

E₁ = -13,6 eV = = -21,8*10^(-19) [ J]

E₂ = E₁/2^2 = -21,8*10^(-19)/2^2 = -5,45*10^(-19) [ J]

E₃ = E₁/3^2 = -21,8*10^(-19)/3^2 = -2,44*10^(-19) [ J]

E₄ = E₁/4^2 = -21,8*10^(-19)/4^2 = -1,36*10^(-19) [ J]

E_n = E₁ * 1/n^2

Pozostałe prędkości obwodowe elektronu v_n odpowiadające tym poziomom energetycznym:

E_n = 0,5*m*v^2

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

v₁ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 5,295*10^(-11)]^0,5

v₁ = 2,18*10^6 [m/s]

v₂ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 21,18*10^(-11)]^0,5

v₂ = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 47,71*10^(-11)]^0,5

v₃ = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 84,72*10^(-11)]^0,5

v₄ = 0,546*10^6 [m/s]

Tutaj sprawdzająco wg drugiego wzoru:

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

Momenty pędu na poszczególnych orbitach:

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

r₁ = e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8πε₀ *2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

Mp₁ = m_e *v₁ *r₁ = 9,11*10^(-31) * 2,180*10^6 * 5,295*10^(-11)

Mp₁ = 105,1 *10^(-32) [kg*m^2/s] = 1,05 *10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₁ = 1,05 *10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

[g*s*cm^2/s^2] = [erg*s]

Mp₁ = 1,05 *10^(-27) [erg*s] = h = h/2π

I patrzę i oczom nie wierzę, ten moment pędu jest równy stałej Plancka – słynnej STAŁEJ PLANCKA. Czy to może być przypadek, czy moja spekulacja? NIE! Ktoś powie: to o niczym nie świadczy. Może dla kogoś nie, ale dla mnie świadczy i to dużo. Otrzymałem promień, który potwierdzają doświadczenia i dalej po drodze spotkałem stałą Plancka. Otrzymałem coś zdumiewającego. Wniosek z tego, że ta metoda, jest do przyjęcia.

Licząc momenty pędu pozostałych orbit:

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

r₂ = e^2/8πε₀ * E₂ = e^2/8πε₀ *0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

Mp₂ = m_e *v₂ *r₂ = 9,11*10^(-31)* 1,093*10^6 *21,18*10^(-11)

Mp₂ = 210,0 * 10^(-32) [kg*m^2/s] = 2,10 *10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₂ = 2,10 *10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

[g*s*cm^2/s^2] = [erg*s]

Mp₂ = 2,10 *10^(-27) [erg*s] = 2h = 2h/2π

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

r₃ = e^2/8πε₀ * E₃ = e^2/8πε₀ *0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

Mp₃ = m_e *v₃ *r₃ = 9,11*10^(-31)* 0,728*10^6 *47,71*10^(-11)

Mp₃ = 316,0 * 10^(-32) [kg*m^2/s] = 3,16 *10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₃ = 3,16 *10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

[g*s*cm^2/s^2] = [erg*s]

Mp₃ = 3,16 *10^(-27) [erg*s] = 3h = 3h/2π

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

r₄ = e^2/8πε₀ * E₄ = e^2/8πε₀ *0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Mp₄ = m_e *v₄ *r₄ = 9,11*10^(-31)* 0,546*10^6 *84,72*10^(-11)

Mp₄ = 421,0* 10^(-32) [kg*m^2/s] = 4,21*10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₄ = 4,21*10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

Mp₄ = 4,21*10^(-27) [erg*s] = 4h = 4h/2π

Widzę, że są one wielokrotnościami stałej Plancka h.
Mp₁ = 1,05 *10^(-27) [erg*s] = h
Mp₂ = 2,10 *10^(-27) [erg*s] = 2h

Mp₃ = 3,16 *10^(-27) [erg*s] = 3h

Mp₄ = 4,21 *10^(-27) [erg*s] = 4h

A więc postulat Bohra:

m*v_n*r_n = n*h = n*h/2π

jest prawdziwy, można go wyprowadzić, co powyższym uczyniłem i o czym chciałem się osobiście przekonać. Jestem przekonany, że Bohr też go wyprowadził, a nie, jak się mówi, wprowadził ad hoc.

Reasumując: Model atomu wodoru Bohra, ze swymi postulatami ostatecznie mnie przekonał.

Siła odśrodkowa:

F = m *v^2/r

i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:

m*v_n^2/r_n = e^2/4πε*r_n^2

m*v_n^2 = e^2/4πε₀*r_n

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

m * v_n * r_n = n * h

Promienie orbit elektronu v odpowiadające tym poziomom energetycznym

r₁ = e^2/8πε*R_jon = e^2/8πε*2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε* E₂ = e^2/8πε*0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε* E₃ = e^2/8πε*0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε* E₄ = e^2/8πε*0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Prędkości obwodowe elektronu v odpowiadające tym poziomom energetycznym

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

ε = 8,85*10^(-12) [F/m]

e = 1,602*10^(-19) [C]

K = e^2/4πε₀ * m = [1,602*10^(-19) ]^2/12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31)

K= 2,566 * 10^(-38) / 111,156 * 10^(-12) * 9,11*10^(-31)

K= 2566,0 * 10^(-41) /1012,63* 10^(-43)

K= 2,53 * 10^2

r₁ = e^2/8πε*R_jon = e^2/8πε*2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

K1 = r1*v1 = 5,295*10^(-11) * [2,180*10^6]^2

K1= 5,295*10^(-11) * 4,752*10^12

K1= 25,16*10^(1)

K1= 2,53 * 10^2 OK

r₂ = e^2/8πε* E₂ = e^2/8πε*0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

K2 = r2*v2 = 21,18*10^(-11) * [1,093*10^6]^2

K2= 21,18*10^(-11) *1,194*10^12

K2 = 25,30*10^1

K2 = 2,53*10^2 OK

r₃ = e^2/8πε* E₃ = e^2/8πε*0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

K3 = r3*v3 = 47,71*10^(-11) * [0,728*10^6]^2

K3 = 47,71*10^(-11) * 0,529 * 10^12

K3 = 25,28*10^1

K3 = 2,528*10^2 OK

r₄ = e^2/8πε* E₄ = e^2/8πε*0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

K4 = r4*v4 = 84,72*10^(-11) * [0,546*10^6]^2

K4 = 84,72*10^(-11) * 0,298 *10^12

K4 = 25,26*10^1

K4 = 2,526*10^2 OK

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

ε = 8,85*10^(-12) [F/m]

e = 1,602*10^(-19) [C]

m * v_n * r_n = n * h

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

m * v₁ * r₁ = 1 * h

v₁ * r₁ = 1 * h / m

v_n * r_n = n * h / m

v_n * r_n / n = h / m

v_n * r_n / n = v₁ * r₁

v_n * r_n = n * v₁ * r₁

v_n / v₁= n * r₁ / r_n

n * r₁ / r_n = v_n / v₁

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

r₁ * v₁^2 = e^2/4πε₀ * m

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

r₁ * v₁^2 = r_n * v_n^2

r₁ / r_n = v_n ^2 / v_n ^2

Rozwiązując ten układ równań:

v_n ^2 / v₁^2 = v_n / nv₁

v_n ^2 * nv₁ = v_n * v₁^2

nv₁ * v_n ^2 - v₁^2 * v_n = 0

Δ = b^2 – 4ac = v₁^4

v_n= [-b + √Δ] / 2a = [v₁^2 + v₁^2] / 2 *nv₁

v_n = 2v₁^2 / 2 *nv₁ = 2v₁ / 2 *n = v₁ / n

v_n = v₁ / n

Dla pozostałych orbit będą prędkości, co widać wg wyliczenia:

v₂= v₁ / 2

v₃= v₁ / 3

v₄= v₁ / 4

Prędkości obwodowe elektronu v_n odpowiadające tym poziomom energetycznym

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

Wstawiając

v_n = v₁ / n

n * r₁ / r_n = v_n / v₁

v_n / v₁ = 1 / n do

n * r₁ / r_n = 1 / n

n^2 * r₁ / r_n = 1

n^2 * r₁ = r_n

Ostatecznie

r_n = n^2 * r₁

r₂ = 2^2 * r₁ = 4r₁

r₃ = 3^2 * r₁ = 9r₁

r₄ = 4^2 * r₁ = 16r₁

Promienie orbit elektronu v odpowiadające tym poziomom energetycznym.

Widzimy, że się zgadza.

r₁ = e^2/8πε*R_jon = e^2/8πε*2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε* E₂ = e^2/8πε*0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε* E₃ = e^2/8πε*0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε* E₄ = e^2/8πε*0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Postulaty Bohra dla atomu wodoru można zrozumieć, gdy się wyprowadzi wzory na promień orbity i prędkość elektronu na niej. Ja postanowiłem zadać sobie trochę trudu i wyprowadziłem sobie postulat Bohra. I w tych obliczonych promieniach orbit i prędkościach na nich od 1 do 4 zobaczyłem, co to znaczy wzrost momentu pędu z jednej orbity na drugą.

v/r = 2π/T