Wyprowadzenie 1-ego postulatu Bohra dla atomu wodoru

 Wyprowadzenie 1-ego postulatu Bohra dla atomu wodoru

Ponieważ nigdzie nie spotkałem wyprowadzenia postulatu Bohra a tylko jego ostateczną postać i jak się oficjalnie mówi, przyjęty ad hoc, postanowiłem wyprowadzić sobie końcową zależność by się samemu przekonać o jego słuszności bądź nie.

I mnie nie ten model Bohra, ze swymi postulatami przekonał, gdy korzystając z 2 postulatu,

E_f = hν =E₂ –E₁

wyprowadziłem sobie 1-szy postulat Bohra.

L = nh/2π = nh

Siła odśrodkowa:

F = m *v^2/r

i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:

m*v^2/r = e^2/4πε₀*r^2

Powyższą równość przekształcamy do postaci na E_kin

Energia kinetyczna układu elektron - proton będzie:

E_k = m*v^2/2 = e^2/8πε₀ *r

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem:

E_p = - e^2/4π*ε₀ *r

Całkowita energia układu będzie E = E_k + E_p

E = E_k + E_p = e^2/8πε₀ *r + [- e^2/4π*ε₀ *r] = - e^2/8πε₀*r = - E_k

E = - e^2/8πε₀ *r = R_jon = -13, 6 [eV] =

E₁ = -13,6 eV = = -21,8*10^(-19) [ J] = -2,18*10^(-18) [ J]

i z tego wyznaczamy promień orbity elektronu:

r₁= e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8πε₀ *2,18*10^(-18)

r₁ = [1,602*10^(-19)]^2 /25,12*8,85*10^(-12) * 2,18*10^(-18)

r₁ = 2,566 * 10^(-38) / 484,64 * 10^(-30)

r₁ = 5,295*10^(-11) [m]

Poziomy energetyczne w atomie wodoru

E₁ = -13,6 eV = = -21,8*10^(-19) [ J]

E₂ = E₁/2^2 = -21,8*10^(-19)/2^2 = -5,45*10^(-19) [ J]

E₃ = E₁/3^2 = -21,8*10^(-19)/3^2 = -2,44*10^(-19) [ J]

E₄ = E₁/4^2 = -21,8*10^(-19)/4^2 = -1,36*10^(-19) [ J]

Momenty pędu na poszczególnych orbitach:

Mp₁ = 1,05 *10^(-27) [erg*s] = h = h/2π

Mp₂ = 2,10 *10^(-27) [erg*s] = 2h = 2h/2π

Mp₃ = 3,16 *10^(-27) [erg*s] = 3h = 3h/2π

Mp₄ = 4,21*10^(-27) [erg*s] = 4h = 4h/2π

Widzę, że są one wielokrotnościami stałej Plancka h.

Patrzę i oczom nie wierzę! Ten moment pędu jest równy stałej Plancka – słynnej STAŁEJ PLANCKA. Czy to może być przypadek, czy moja spekulacja? NIE! Ktoś powie: to o niczym nie świadczy. Może dla kogoś nie, ale dla mnie świadczy i to dużo. Otrzymałem promień atomu wodoru, który potwierdzają doświadczenia i dalej spotkałem stałą Plancka. Otrzymałem coś zdumiewającego. Wniosek z tego, że ta metoda, jest do przyjęcia.

A więc postulat Bohra:

m*v_n*r_n = n*h = n*h/2π

jest prawdziwy, można go wyprowadzić, co powyższym uczyniłem i o czym chciałem się osobiście przekonać. Jestem przekonany, że Bohr też go wyprowadził, a nie, jak się mówi, wprowadził ad hoc.

Reasumując: Model Bohra, ze swymi postulatami ostatecznie mnie przekonał.

Podsumowanie:

Energie E_n – z doświadczenia

E_n = E₁/n^2

E₁ = E₁/1^2

E₂ = E₁/2^2

E₃ = E₁/3^2

E₄ = E₁/4^2

Promienie orbit – wyliczone z uwzględnieniem energii E_n

r_n = n^2 * r₁

r₁ = 1^2 * r₁ = 1r₁

r₂ = 2^2 * r₁ = 4r₁

r₃ = 3^2 * r₁ = 9r₁

r₄ = 4^2 * r₁ = 16r₁

Prędkości - wyliczone z uwzględnieniem energii E_n i promieni r_n

v_n = v₁ / n

v₁ = v₁ / 1

v₂ = v₁ / 2

v₃ = v₁ / 3

v₄ = v₁ / 4

1-szy postulat Bohra – wyliczone z uwzględnieniem promieni r_n i prędkości v_n

m*v_n*r_n = n*h

m*v₁*r₁ = 1*h

m*v₂*r₂ = 2*h

m*v₃*r₃ = 3*h

m*v₄*r₄ = 4*h

Widzimy, jak ładna numerologia. Tak, Natura lubi ładnie układające się liczby. Tu jest cała tajemnica fizyki kwantów i jej zrozumienie.

Siła odśrodkowa:

F = m *v^2/r

i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:

m*v^2/r = e^2/4πε₀*r^2

Powyższą równość przekształcamy do postaci na E_kin

Energia kinetyczna układu elektron - proton będzie:

E_k = m*v^2/2 = e^2/8πε₀ *r

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem:

E_p = - e^2/4π*ε₀ *r

Całkowita energia układu będzie E = E_k + E_p

E = E_k + E_p = e^2/8πε₀ *r + [- e^2/4π*ε₀ *r] = - e^2/8πε₀*r = - E_k

E = - e^2/8πε₀ *r = R_jon = -13, 6 [eV] =

E₁ = -13,6 eV = = -21,8*10^(-19) [ J] = -2,18*10^(-18) [ J]

i z tego wyznaczamy promień orbity elektronu:

r₁= e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8πε₀ *2,18*10^(-18)

r₁ = [1,602*10^(-19)]^2 /25,12*8,85*10^(-12) * 2,18*10^(-18)

r₁ = 2,566 * 10^(-38) / 484,64 * 10^(-30)

r₁ = 5,295*10^(-11) [m]

e = 1,602*10^(-19) [C]

ε₀ = 8,85*10^(-12) [F/m]

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

1 eV = 1,602*10^(-19) [J]

Pozostałe promienie orbit elektronu r_n odpowiadające tym E_n poziomom energetycznym

r₁ = e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8πε₀ *2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε₀ * E₂ = e^2/8πε₀ *0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε₀ * E₃ = e^2/8πε₀ *0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε₀ * E₄ = e^2/8πε₀ *0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Ze wzoru na równość sił, odśrodkowej i przyciągania elektrostatycznego:

m_e *v^2/r = e^2/4πε₀ *r^2

możemy wyznaczyć teraz prędkość obwodową elektronu:
  v = [e^2/4πε₀ *m*r]^0,5 = e / [4πε₀ *m*r]^0,5 =

v₁ = e/[4πε₀ *m*r₁]^ 0,5 =

v₁ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 5,295*10^(-11)]^0,5

v₁ = 1,602*10^(-19) / [5361,88 * 10^(-54)]^0,5 = 1,602*10^(-19) / 73,22 * 10^(-27)

v₁ = 160,2 10^(-21) / 73,22 * 10^(-27) = 2,18 * 10^6

v₁ = 2,18*10^6 [m/s]

Poziomy energetyczne w atomie wodoru

E₁ = -13,6 eV = = -21,8*10^(-19) [ J]

E₂ = E₁/2^2 = -21,8*10^(-19)/2^2 = -5,45*10^(-19) [ J]

E₃ = E₁/3^2 = -21,8*10^(-19)/3^2 = -2,44*10^(-19) [ J]

E₄ = E₁/4^2 = -21,8*10^(-19)/4^2 = -1,36*10^(-19) [ J]

E_n = E₁ * 1/n^2

Pozostałe prędkości obwodowe elektronu v_n odpowiadające tym poziomom energetycznym:

E_n = 0,5*m*v^2

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

v₁ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 5,295*10^(-11)]^0,5

v₁ = 2,18*10^6 [m/s]

v₂ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 21,18*10^(-11)]^0,5

v₂ = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 47,71*10^(-11)]^0,5

v₃ = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = 1,602*10^(-19) /[12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31) * 84,72*10^(-11)]^0,5

v₄ = 0,546*10^6 [m/s]

Tutaj sprawdzająco wg drugiego wzoru:

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

Momenty pędu na poszczególnych orbitach:

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

r₁ = e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8πε₀ *2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

Mp₁ = m_e *v₁ *r₁ = 9,11*10^(-31) * 2,180*10^6 * 5,295*10^(-11)

Mp₁ = 105,1 *10^(-32) [kg*m^2/s] = 1,05 *10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₁ = 1,05 *10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

[g*s*cm^2/s^2] = [erg*s]

Mp₁ = 1,05 *10^(-27) [erg*s] = h = h/2π

I patrzę i oczom nie wierzę, ten moment pędu jest równy stałej Plancka – słynnej STAŁEJ PLANCKA. Czy to może być przypadek, czy moja spekulacja? NIE! Ktoś powie: to o niczym nie świadczy. Może dla kogoś nie, ale dla mnie świadczy i to dużo. Otrzymałem promień, który potwierdzają doświadczenia i dalej po drodze spotkałem stałą Plancka. Otrzymałem coś zdumiewającego. Wniosek z tego, że ta metoda, jest do przyjęcia.

Licząc momenty pędu pozostałych orbit:

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

r₂ = e^2/8πε₀ * E₂ = e^2/8πε₀ *0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

Mp₂ = m_e *v₂ *r₂ = 9,11*10^(-31)* 1,093*10^6 *21,18*10^(-11)

Mp₂ = 210,0 * 10^(-32) [kg*m^2/s] = 2,10 *10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₂ = 2,10 *10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

[g*s*cm^2/s^2] = [erg*s]

Mp₂ = 2,10 *10^(-27) [erg*s] = 2h = 2h/2π

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

r₃ = e^2/8πε₀ * E₃ = e^2/8πε₀ *0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

Mp₃ = m_e *v₃ *r₃ = 9,11*10^(-31)* 0,728*10^6 *47,71*10^(-11)

Mp₃ = 316,0 * 10^(-32) [kg*m^2/s] = 3,16 *10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₃ = 3,16 *10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

[g*s*cm^2/s^2] = [erg*s]

Mp₃ = 3,16 *10^(-27) [erg*s] = 3h = 3h/2π

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

r₄ = e^2/8πε₀ * E₄ = e^2/8πε₀ *0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Mp₄ = m_e *v₄ *r₄ = 9,11*10^(-31)* 0,546*10^6 *84,72*10^(-11)

Mp₄ = 421,0* 10^(-32) [kg*m^2/s] = 4,21*10^(-27) [g*cm^2/s]

Mp₄ = 4,21*10^(-27) [g*s*cm^2/s^2]

Mp₄ = 4,21*10^(-27) [erg*s] = 4h = 4h/2π

Widzę, że są one wielokrotnościami stałej Plancka h.

A więc postulat Bohra:

m*v_n*r_n = n*h = n*h/2π

jest prawdziwy, można go wyprowadzić, co powyższym uczyniłem i o czym chciałem się osobiście przekonać. Jestem przekonany, że Bohr też go wyprowadził, a nie, jak się mówi, wprowadził ad hoc.

Reasumując: Model Bohra, ze swymi postulatami ostatecznie mnie przekonał.

Siła odśrodkowa:

F = m *v^2/r

i jest równa sile oddziaływania elektrostatycznego, więc:

m*v_n^2/r_n = e^2/4πε*r_n^2

m*v_n^2 = e^2/4πε₀*r_n

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

m * v_n * r_n = n * h

Promienie orbit elektronu v odpowiadające tym poziomom energetycznym

r₁ = e^2/8πε*R_jon = e^2/8πε*2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε* E₂ = e^2/8πε*0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε* E₃ = e^2/8πε*0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε* E₄ = e^2/8πε*0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Prędkości obwodowe elektronu v odpowiadające tym poziomom energetycznym

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

ε = 8,85*10^(-12) [F/m]

e = 1,602*10^(-19) [C]

K = e^2/4πε₀ * m = [1,602*10^(-19) ]^2/12,56*8,85*10^(-12) * 9,11*10^(-31)

K= 2,566 * 10^(-38) / 111,156 * 10^(-12) * 9,11*10^(-31)

K= 2566,0 * 10^(-41) /1012,63* 10^(-43)

K= 2,53 * 10^2

r₁ = e^2/8πε*R_jon = e^2/8πε*2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

K1 = r1*v1 = 5,295*10^(-11) * [2,180*10^6]^2

K1= 5,295*10^(-11) * 4,752*10^12

K1= 25,16*10^(1)

K1= 2,53 * 10^2 OK

r₂ = e^2/8πε* E₂ = e^2/8πε*0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

K2 = r2*v2 = 21,18*10^(-11) * [1,093*10^6]^2

K2= 21,18*10^(-11) *1,194*10^12

K2 = 25,30*10^1

K2 = 2,53*10^2 OK

r₃ = e^2/8πε* E₃ = e^2/8πε*0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

K3 = r3*v3 = 47,71*10^(-11) * [0,728*10^6]^2

K3 = 47,71*10^(-11) * 0,529 * 10^12

K3 = 25,28*10^1

K3 = 2,528*10^2 OK

r₄ = e^2/8πε* E₄ = e^2/8πε*0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

K4 = r4*v4 = 84,72*10^(-11) * [0,546*10^6]^2

K4 = 84,72*10^(-11) * 0,298 *10^12

K4 = 25,26*10^1

K4 = 2,526*10^2 OK

m_e = 9,11*10^(-31) [kg]

ε = 8,85*10^(-12) [F/m]

e = 1,602*10^(-19) [C]

m * v_n * r_n = n * h

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

m * v₁ * r₁ = 1 * h

v₁ * r₁ = 1 * h / m

v_n * r_n = n * h / m

v_n * r_n / n = h / m

v_n * r_n / n = v₁ * r₁

v_n * r_n = n * v₁ * r₁

v_n / v₁= n * r₁ / r_n

n * r₁ / r_n = v_n / v₁

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

r₁ * v₁^2 = e^2/4πε₀ * m

r_n * v_n^2 = e^2/4πε₀ * m

r₁ * v₁^2 = r_n * v_n^2

r₁ / r_n = v_n ^2 / v_n ^2

Rozwiązując ten układ równań:

v_n ^2 / v₁^2 = v_n / nv₁

v_n ^2 * nv₁ = v_n * v₁^2

nv₁ * v_n ^2 - v₁^2 * v_n = 0

Δ = b^2 – 4ac = v₁^4

v_n = [-b + √Δ] / 2a = [v₁^2 + v₁^2] / 2 *nv₁

v_n = 2v₁^2 / 2 *nv₁ = 2v₁ / 2 *n = v₁ / n

v_n = v₁ / n

Dla pozostałych orbit będą prędkości, co widać wg wyliczenia:

v₂ = v₁ / 2

v₃ = v₁ / 3

v₄ = v₁ / 4

Prędkości obwodowe elektronu v_n odpowiadające tym poziomom energetycznym

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

Wstawiając

v_n = v₁ / n

do

n * r₁ / r_n = v_n / v₁

v_n / v₁ = 1 / n do

n * r₁ / r_n = 1 / n

n^2 * r₁ / r_n = 1

n^2 * r₁ = r_n

Ostatecznie

r_n = n^2 * r₁

r₂ = 2^2 * r₁ = 4r₁

r₃ = 3^2 * r₁ = 9r₁

r₄ = 4^2 * r₁ = 16r₁

Promienie orbit elektronu v odpowiadające tym poziomom energetycznym.

Widzimy, że się zgadza.

r₁ = e^2/8πε*R_jon = e^2/8πε*2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε* E₂ = e^2/8πε*0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε* E₃ = e^2/8πε*0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε* E₄ = e^2/8πε*0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

Postulaty Bohra dla atomu wodoru można zrozumieć, gdy się wyprowadzi wzory na promień orbity i prędkość elektronu na niej. Ja postanowiłem zadać sobie trochę trudu i wyprowadziłem sobie postulat Bohra. I w tych obliczonych promieniach orbit i prędkościach na nich od 1 do 4 zobaczyłem, co to znaczy wzrost momentu pędu z jednej orbity na drugą.

v/r = 2π/T

r₁ = e^2/8πε₀ *R_jon = e^2/8πε₀ *2,18*10^(-18) = 5,295*10^(-11) [m]

r₂ = e^2/8πε₀ * E₂ = e^2/8πε₀ *0,545*10^(-18) = 21,18*10^(-11) [m]

r₃ = e^2/8πε₀ * E₃ = e^2/8πε₀ *0,244*10^(-18) = 47,71*10^(-11) [m]

r₄ = e^2/8πε₀ * E₄ = e^2/8πε₀ *0,136*10^(-18) = 84,72*10^(-11) [m]

v₁ = [2E₁/m_e]^0,5 = [2*21,8*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 2,180*10^6 [m/s]

v₂ = [2E₂/m_e]^0,5 = [2*5,45*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 1,093*10^6 [m/s]

v₃ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*2,44*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,728*10^6 [m/s]

v₄ = [2E₃/m_e]^0,5 = [2*1,36*10^(-19)/ 9,11*10^(-31)]^0,5 = 0,546*10^6 [m/s]

ὠ₁ = v₁/r₁ = 21,80*10^5/5,295*10^(-11)

ὠ₁ = 4.12 * 10^16 [1/s]

ὠ₂ = v₂/r₂ = 10,93*10^5/21,18*10^(-11)

ὠ₂ = 0,516*10^16 [1/s]

ὠ₃ = v₃/r₃ = 7,28*10^5 /47,71*10^(-11)

ὠ₃ = 0,152*10^16 [1/s]

ὠ₄ = v₄/r₄ = 5,46*10^5 /84,72*10^(-11)

ὠ₄ = 0,064*10^16 [1/s]

Widzimy, że częstotliwość kątowa ὠ_n coraz mniejsza z orbity na orbitę.

Podsumowanie:

http://www.chemia.dami.pl/liceum/liceum4/grafika1/seria4.gif

http://www.mat-fiz.p.lodz.pl/fizyka/kurs/bor/images/bohr2.png

Energie E_n – z doświadczenia

E_n = E₁/n^2

E₁ = E₁/1^2

E₂ = E₁/2^2

E₃ = E₁/3^2

E₄ = E₁/4^2

Promienie orbit – wyliczone z uwzględnieniem energii E_n

r_n = n^2 * r₁

r₁ = 1^2 * r₁ = 1r₁

r₂ = 2^2 * r₁ = 4r₁

r₃ = 3^2 * r₁ = 9r₁

r₄ = 4^2 * r₁ = 16r₁

Prędkości - wyliczone z uwzględnieniem energii E_n i promieni r_n

v_n = v₁ / n

v₁ = v₁ / 1

v₂ = v₁ / 2

v₃ = v₁ / 3

v₄ = v₁ / 4

2-gi postulat Bohra – wyliczone z uwzględnieniem promieni r_n i prędkości v_n

m*v_n*r_n = n*h

m*v₁*r₁ = 1*h

m*v₂*r₂ = 2*h

m*v₃*r₃ = 3*h

m*v₄*r₄ = 4*h

Widzimy, jak ładna numerologia. Tak, Natura lubi ładnie układające się liczby. Tu jest cała tajemnica fizyki kwantów i jej zrozumienie.

Literatura:

http://www.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_1905_heuristic.pdf

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html#hph

HyperPhysics

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html

http://www.ifispan.waw.pl/studialogica/s-p-f/forum-files/Sady-PK.pdf

http://fleck.umcs.lublin.pl/teksty.sady.natura.pdf